下面介绍一下几种典型的机器算法 首先第一种是高斯混合模型算法: 高斯模型有单高斯模型(SGM)和混合高斯模型(GMM)两种。 (1)单高斯模型: 为简单起见,阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下,我们一般取t=0.7-0.75之间。 二维情况如下所示: (2)混合高斯模型: 对于(b)图所示的情况,很明显,单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问题,人们提出了高斯混合模型(GMM),顾名思义,就是数据可以看作是从数个高斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ,但是 GMM是 最为流行。另外,Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的,通过增加 Model 的个数,我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。 每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成,每个 Gaussian 称为一个“Component”,这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数: (1) 其中,πk表示选中这个component部分的概率,我们也称其为加权系数。 根据上面的式子,如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话,实际上可以分为两步: (1)首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个,每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk,选中了 Component 之后,再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布,转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点,我们认为这些数据点由某个GMM模型产生,现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的,我们想到利用最大似然估计来确定这些参数,GMM的似然函数如下: (2) 在最大似然估计里面,由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式,即在等式的左右两边加上一个log函数,但是由上文博客里的(2)式可以看出,转化为log后,还有log(a+b)的形式,因此,要进一步求解。 我们采用EM算法,分布迭代求解最大值: EM算法的步骤这里不作详细的介绍,可以参见博客: http://blog.pluskid.org/?p=39 贴出代码: function varargout = gmm(X, K_or_centroids) % ============================================================ % Expectation-Maximization iteration implementation of % Gaussian Mixture Model. % % PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS) % [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS) % % - X: N-by-D data matrix. % - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of % components or a K-by-D matrix indicating the % choosing of the initial K centroids. % % - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each % component generating each point. % - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM: % MODEL.Miu: a K-by-D matrix. % MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix. % MODEL.Pi: a 1-by-K vector. % ============================================================ threshold = 1e-15; [N, D] = size(X); if isscalar(K_or_centroids) K = K_or_centroids; % randomly pick centroids rndp = randperm(N); centroids = X(rndp(1:K), :); else K = size(K_or_centroids, 1); centroids = K_or_centroids; end % initial values [pMiu pPi pSigma] = init_params(); Lprev = -inf; while true Px = calc_prob(); % new value for pGamma pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1); pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K); % new value for parameters of each Component Nk = sum(pGamma, 1); pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X; pPi = Nk/N; for kk = 1:K Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1); pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ... (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk); end % check for convergence L = sum(log(Px*pPi')); if L-Lprev < threshold break; end Lprev = L; end if nargout == 1 varargout = {Px}; else model = []; model.Miu = pMiu; model.Sigma = pSigma; model.Pi = pPi; varargout = {Px, model}; end function [pMiu pPi pSigma] = init_params() pMiu = centroids; pPi = zeros(1, K); pSigma = zeros(D, D, K); % hard assign x to each centroids distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ... 2*X*pMiu'; [dummy labels] = min(distmat, [], 2); for k=1:K Xk = X(labels == k, :); pPi(k) = size(Xk, 1)/N; pSigma(:, :, k) = cov(Xk); end end function Px = calc_prob() Px = zeros(N, K); for k = 1:K Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1); inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k)); tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2); coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma)); Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp); end end end 函数返回的 Px 是一个 的矩阵,对于每一个 ,我们只要取该矩阵第 行中最大的那个概率值所对应的那个 Component 为 所属的 cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。 参考资料: 【C++代码】 http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html http://bubblexc.com/y2011/8/ http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments
本文来自:http://www.cnblogs.com/CBDoctor/archive/2011/11/06/2236286.html |