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[数学算法] 混合高斯模型算法

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本站高手
本站高手  发表于 2015-9-24 17:33:23 |阅读模式

下面介绍一下几种典型的机器算法

首先第一种是高斯混合模型算法:

高斯模型有单高斯模型(SGM)和混合高斯模型(GMM)两种。

(1)单高斯模型:

为简单起见,阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下,我们一般取t=0.7-0.75之间。

二维情况如下所示:

(2)混合高斯模型:

 

      对于(b)图所示的情况,很明显,单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问题,人们提出了高斯混合模型(GMM),顾名思义,就是数据可以看作是从数个高斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ,但是 GMM是 最为流行。另外,Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的,通过增加 Model 的个数,我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。

    每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成,每个 Gaussian 称为一个“Component”,这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数:

 

                (1)

其中,πk表示选中这个component部分的概率,我们也称其为加权系数。

根据上面的式子,如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话,实际上可以分为两步:

(1)首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个,每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk,选中了 Component 之后,再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布,转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点,我们认为这些数据点由某个GMM模型产生,现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的,我们想到利用最大似然估计来确定这些参数,GMM的似然函数如下:

        (2)

 

在最大似然估计里面,由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式,即在等式的左右两边加上一个log函数,但是由上文博客里的(2)式可以看出,转化为log后,还有log(a+b)的形式,因此,要进一步求解。

我们采用EM算法,分布迭代求解最大值:

EM算法的步骤这里不作详细的介绍,可以参见博客:

http://blog.pluskid.org/?p=39

贴出代码:

function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
% - X: N-by-D data matrix.
% - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
% components or a K-by-D matrix indicating the
% choosing of the initial K centroids.
%
% - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
% component generating each point.
% - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
% MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
% MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
% MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================

threshold = 1e-15;
[N, D] = size(X);

if isscalar(K_or_centroids)
K = K_or_centroids;
% randomly pick centroids
rndp = randperm(N);
centroids = X(rndp(1:K), :);
else
K = size(K_or_centroids, 1);
centroids = K_or_centroids;
end

% initial values
[pMiu pPi pSigma] = init_params();

Lprev = -inf;
while true
Px = calc_prob();

% new value for pGamma
pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);

% new value for parameters of each Component
Nk = sum(pGamma, 1);
pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
pPi = Nk/N;
for kk = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
(diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
end

% check for convergence
L = sum(log(Px*pPi'));
if L-Lprev < threshold
break;
end
Lprev = L;
end

if nargout == 1
varargout = {Px};
else
model = [];
model.Miu = pMiu;
model.Sigma = pSigma;
model.Pi = pPi;
varargout = {Px, model};
end

function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
pMiu = centroids;
pPi = zeros(1, K);
pSigma = zeros(D, D, K);

% hard assign x to each centroids
distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
2*X*pMiu';
[dummy labels] = min(distmat, [], 2);

for k=1:K
Xk = X(labels == k, :);
pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
end
end

function Px = calc_prob()
Px = zeros(N, K);
for k = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
end
end
end

   函数返回的 Px 是一个 N\times K 的矩阵,对于每一个 x_i ,我们只要取该矩阵第 i 行中最大的那个概率值所对应的那个 Component 为 x_i 所属的 cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。

 

参考资料:

【C++代码】

http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html

http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html

http://bubblexc.com/y2011/8/

http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments

 


本文来自:http://www.cnblogs.com/CBDoctor/archive/2011/11/06/2236286.html

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